Question

2．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明CD为⊙O的切线，只要证明∠OCD=90°即可．
（2）作OF⊥AB于F，设AD=x，则OF=CD=2x，在Rt△AOF中利用勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 证明：（1）连接OC．
∵点C在⊙O上，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD=∠DCA=90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°，
∴CD是⊙O切线．

（2）作OF⊥AB于F，
∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°，
∴四边形CDFO是矩形，
∴OC=FD，OF=CD，
∵CD=2AD，设AD=x，则OF=CD=2x，
∵DF=OC=10，
∴AF=10-x，
在Rt△AOF中，AF²+OF²=OA²，
∴（10-x）²+（2x）²=10²，
解得x=4或0（舍弃），
∴AD=4，AF=6，AC=4$\sqrt{5}$，
∵OF⊥AB，
∴AB=2AF=12．

点评 本题考查切线的判定，矩形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．