Question

观察下列各式：

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，

1

17×19

=

1

2

(

1

17

-

1

19

)…
（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

…中，第6项为

1

6×8

，第n项为

1

n(n+2)

．
（2）请你计算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

…+

1

17×19

．
（3）受此启发，请你解下面的方程：

1

x(x+3)

+

1

(x+3)(x+6)

+

1

(x+6)(x+9)

=

3

2x+18

．

Answer 1

分析：（1）观察可得规律：第n项为：

1

n(n+2)

，继而可求得答案；
（2）原式可变形为：

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+

1

2

（

1

5

-

1

7

）+…+

1

2

（

1

17

-

1

19

），继而求得答案；
（3）首先原分式方程可化简为：

1

x

-

1

x+9

=

9

2(x+9)

，继而可求得答案．

解答：解：（1）∵观察可得规律：第n项为：

1

n(n+2)

，
∴第6项为

1

6×8

，第n项为

1

n(n+2)

；
故答案为：

1

6×8

，

1

n(n+2)

；

（2）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

…+

1

17×19

=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+

1

2

（

1

5

-

1

7

）+…+

1

2

（

1

17

-

1

19

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

17

-

1

19

）
=

1

2

（1-

1

19

）
=

9

19

；

（3）∵

1

x(x+3)

+

1

(x+3)(x+6)

+

1

(x+6)(x+9)

=

3

2x+18

，
∴

1

3

（

1

x

-

1

x+3

）+

1

3

（

1

x+3

-

1

x+6

）+

1

3

（

1

x+6

-

1

x+9

）=

3

2(x+9)

，
∴

1

3

（

1

x

-

1

x+9

）=

3

2(x+9)

，
∴

1

x

-

1

x+9

=

9

2(x+9)

，
方程的两边同乘2x（x+9），得：2（x+9）-2x=9x，
解得：x=2．
检验：把x=2代入2x（x+9）=44≠0．
则原方程的解为：x=2．

点评：此题考查了分式的加减运算与分式方程的解法．注意得到规律：第n项为：

1

n(n+2)

是关键；注意解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．注意解分式方程一定要验根．