Question

（12）观察下列各式：

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…
（1）用含有n（n为正整数）的式子表示上述过程中的规律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）用你发现的规律解答下面问题：已知a，b是有理数，且|ab-2|与|b-1|互为相反数．
求 

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2011)(b+2011)

的值．

Answer 1

分析：（1）根据已知，用字母代替上面题中的分母，很容易得出规律．
（2）根据题目，先解出a、b的值，再将题目化成如已知中数的形式，就很好解决了．

解答：解：（1）由已知可得规律为

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

（2）∵|ab-2|+|b-1|=0，
∴|ab-2|=0，|b-1|=0，
即ab=2，b=1，a=2，
代入式子

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2011)(b+2011)

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2012×2013

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

．
故答案为：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

点评：本题考查了规律型：数字的变化，得出

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，以及抵消法的运用是解题的关键．