Question

16．已知关于x的方程x²-2（m+1）x+m²-1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m取最小整数时，求2x₁²-2x₁+x₂²的值；
（3）若抛物线y=x²-2（m+1）x+m²-1与y轴的负半轴交于点C，与x轴交于点A，B，且∠ACB=90°，求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接用一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）先借助（1）的结论得出m=0，代入方程再利用根与系数的关系即可；
（3）先求出点C的坐标和AB的中点坐标，即可得出CD，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出m．

解答 解：（1）依题意，有：△=4（m+1）²-4（m²-1）＞0，
即   2m+2＞0，
得   m＞-1．
（2）∵m＞-1，
∴m取最小整数为0．当m=0时，原方程变为  x²-2x-1=0．
∵x₁是x²-2x-1=0的根，
∴x₁²-2x₁-1=0，即x₁²-2x₁=1．
又∵x₁，x₂是方程x²-2x-1=0的两个根，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-1．
∴2x₁²-2x₁+x₂²=x₁²-2x₁+x₁²+x₂²=1+x₁²+x₂²=1+（x₁+x₂）²-2 x₁x₂=1+4-2×（-1）=7．
（3）∵抛物线y=x²-2（m+1）x+m²-1与y轴的负半轴交于点C，
∴C（0，m²-1），
∵抛物线y=x²-2（m+1）x+m²-1，
∴AB的坐标为D（m+1，0），
∴CD=$\sqrt{（m+1）^{2}+（{m}^{2}-1）^{2}}$=（m+1）$\sqrt{{m}^{2}-2m+2}$
∵x²-2（m+1）x+m²-1=0，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²-1，
∴AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{2m+2}$，
∵∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴（m+1）$\sqrt{{m}^{2}-2m+2}$=$\sqrt{2m+2}$，
∴m=0或m=1，
∵抛物线y=x²-2（m+1）x+m²-1与y轴的负半轴交于点C，
∴m²-1＜0，
∴-1＜m＜1，
∴m=0．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解本题的关键．