Question

将Rt△ABC的短直角边BC对折到长直角边AC上，使点B与边AC上点E重合，折痕CD，且有AE=DE，以下结论正确的是（　　）
①A=30°；②CD⊥AB；③CD=CB；④点D到直角边BC、AC的距离相等．

• A、①②③④
• B、①③④
• C、②③④
• D、①④

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）由AE=DE，得出∠A=∠EDA，因为∠DEC=∠A+∠EDA=2∠A，由折叠性可知∠DEC=∠B，所以∠B=2∠A，再由∠A+∠B=90°，解得∠A=30°，
（2）由折叠性可知∠BDC=∠CDE，若CD⊥AB则有∠BDC=∠CDE=90°，CD不能同时垂直两条相交线，所以CD⊥AB错误，
（3）由（1）知∠A=30°，∠DEC=60°，若CD=CB，由由折叠性可知，△CED是等边三角形，得到∠ECD=60°，所以∠CDA=90°，即CD⊥AB，由（2）知CD⊥AB错误，
（4）由由折叠性可知，∠BCD=∠ECD，即CD是∠ACB的角平分线，所以点D到直角边BC、AC的距离相等．

解答：解：（1）∵AE=DE，
∴∠A=∠EDA，
∵∠DEC=∠A+∠EDA=2∠A，
由折叠性可知∠DEC=∠B，
∴∠B=2∠A
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A+2∠A=90°，即3∠A=90°，
∴∠A=90°，
故①正确，
（2）由折叠性可知∠BDC=∠CDE，若CD⊥AB则有∠BDC=∠CDE=90°，CD不能同时垂直两条相交线，所以CD⊥AB错误，
故②错误，
（3）由（1）知∠A=30°，∠DEC=60°，
若CD=CB，由由折叠性可知，△CED是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
∴∠CDA=90°，即CD⊥AB，
由（2）知CD⊥AB错误，
故③不正确，
（4）由由折叠性可知，∠BCD=∠ECD，即CD是∠ACB的角平分线，所以点D到直角边BC、AC的距离相等．
故④正确．
故选：D．

点评：本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确折叠后图形相对应的边和角大小不变．