Question

6．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，点E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AC=BD，求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 （1）易证四边形EFGH是平行四边形，再证明有一个角为直角即可证明四边形EFGH是矩形；
（2）由（1）可知EFGH是矩形，再证明其邻边相等即可得到四边形EFGH是正方形．

解答 证明：（1）∵点E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF，GH分别是△ABD和△CBD的中位线，
∴EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，GH∥BD，GH=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴∠GFE=90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）∵AC=BD，
∴EF=FG，
又∵四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH是正方形．

点评 此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形、正方形的判断进行证明，是一道综合题．