Question

2．如图所示，矩形ABCD的对称中心和抛物线的顶点均为坐标原点O，点A，D在抛物线上．且AD平行x轴，交y轴于点F，点B的坐标为（2，1）．
（1）写出此抛物线的表达式y=-$\frac{1}{4}$x²；
（2）已知直线y=3x+m，当该直线与抛物线只有唯一的公共点时．求此公共点的坐标；
（3）在直角坐标系中，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）之间的距离可以由公式．MN=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$求出．设点P为抛物线上的动点，过点P作CB 所在直线的垂线，垂足为点E，利用上面公式判断，线段PE与线段PF之间有怎样的大小关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由该抛物线的顶点为原点O，设该抛物线的表达式为y=ax²，由点B的坐标结合矩形的性质可得出点A的坐标，再结合点A的坐标利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式；
（2）将直线的解析式代入抛物线解析式中，得到关于x的一元二次方程，由二者只有一个交点，结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，再将m的值代入关于x的一元二次方程中，求出x的值，将其代入抛物线解析式即可得出结论；
（3）推断PE=PF，设点P的坐标为（t，-$\frac{1}{4}{t}^{2}$），由此即可得出点E的坐标，利用两点间的距离公式表示出来PE，再结合点A的坐标得出点F的坐标，利用两点间的距离公式表示出PF，比较PE、PF即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点O，
∴设该抛物线的表达式为y=ax²．
∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且点B的坐标为（2，1），
∴点A的坐标为（2，-1）．
∵点A（2，-1）在抛物线y=ax²的图象上，
∴-1=4a，解得：a=-$\frac{1}{4}$，
∴该抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{4}$x²．
故答案为：y=-$\frac{1}{4}$x²．
（2）将直线y=3x+m代入到抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²中，得：-$\frac{1}{4}$x²=3x+m，
即$\frac{1}{4}$x²+3x+m=0．
∵该直线与抛物线只有唯一的公共点，
∴方程$\frac{1}{4}$x²+3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=3²-4×$\frac{1}{4}$m=9-m=0，解得：m=9．
将m=9代入方程$\frac{1}{4}$x²+3x+m=0得：$\frac{1}{4}$x²+3x+9=0，
解得：x₁=x₂=-6，
将x=-6代入y=-$\frac{1}{4}$x²中，得：y=-$\frac{1}{4}$×（-6）²=-9，
∴该公共点的坐标为（-6，-9）．
（3）PE=PF，理由如下：
依照题意做出图形，如图所示．

设点P的坐标为（t，-$\frac{1}{4}{t}^{2}$），则点E的坐标为（t，1），
∴PE=$\sqrt{（t-t）^{2}+（-\frac{1}{4}{t}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{t}^{4}+\frac{1}{2}{t}^{2}+1}$；
∵点F（0，-1），
∴PF=$\sqrt{（t-0）^{2}+[-\frac{1}{4}{t}^{2}-（-1）]^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{t}^{4}+\frac{1}{2}{t}^{2}+1}$．
∴PE=PF．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、根的判别式以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用根的判别式△=0求出m的值；（3）利用两点间的距离公式求出PE、PF的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，将一次函数解析式代入二次函数解析式中，根据两函数相切借助根的判别式△=0求出交点坐标是关键．