Question

如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=

4

5

，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是

 

．

Answer 1

分析：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．

解答：解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB=

x-2

x

，又cosB=

4

5

，
于是

x-2

x

=

4

5

，
解得x=10，即AB=10．
所以易求BE=8，AE=6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：

1

2

AB•PE=

1

2

BE•AE，
求得PE的最小值为4.8．
故答案为 4.8．

点评：本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．