Question

2．已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）说说AB和CD、BC和AD的位置关系？
（2）你能判定四边形ABCD是矩形吗？为什么？
（3）AC和BD有怎样的大小关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）首先推出∠BAC=∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，从而可以得到两组对边的关系；
（2）再证明∠ABC=90°，可得平行四边形ABCD是矩形；
（3）根据矩形的对角线相等即可得到答案．

解答 证明：（1）∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠MAC、∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA=$\frac{1}{2}$∠ACP、∠DAC=$\frac{1}{2}$∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；

（2）∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠MAC，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．

（3）∵平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD．

点评 此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形，属于基础题，难度不大．