Question

11．已知：如图?ABCD中，CD=CB=3，∠C=60°，点E是CD边上自C向D的动点（点E到点D停止运动），连结AE，以AE为边作等边△AEP，连结DP．
（1）求证：△ABE≌△ADP；
（2）当点E运动到点D处，作△ADP的外接圆⊙O，判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）点P随点E的运动而运动，请直接写出点P的运动路径长3．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠PAD=∠BAE，则根据SAS即可证明两个三角形全等；
（2）根据△ADP是等边三角形，则O是三角形ADP的中心，即可求得∠DAO=30°，从而证明∠BAO=90°，则AB与⊙O相切；
（3）在运动过程中，始终保持△ABE≌△ADP，则点P的运动路径长等于E点运动的路径长，据此即可求解．

解答 （1）证明：∵?ABCD中，CD=CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠C=∠BAD=60°．
∵△AEP是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠PAD=∠BAE，
∴△ABE和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AE}\\{∠PAD=∠EAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADP；
（2）解：直线AB于⊙O相切．
连接OA，
∵△PAD是等边三角形，
∴∠DAO=30°，
∴∠BAO=∠DAO+∠DAB=90°，
又∵A在⊙O上，
∴AB与⊙O相切；
（3）解：∵在运动过程中，始终保持△ABE≌△ADP，
∴点P的运动路径长=CD=3．
故答案是：3．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明∠PAD=∠BAE是解决本题的关键．