Question

9．如图，AD为⊙O的直径，CD为弦，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，连接OB．
（1）求证：OB∥CD；
（2）若AB=15，CD=7，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，得到∠BOA=$\frac{1}{2}∠$AOC，由圆周角定理得到$∠D=\frac{1}{2}∠$AOC，得到∠AOB=∠D，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接AC交OB于M，由AD为⊙O的直径，得到∠ACD=90°，根据三角形的中位线的性质得到OM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{7}{2}$，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠BOA=$\frac{1}{2}∠$AOC，
∵$∠D=\frac{1}{2}∠$AOC，
∴∠AOB=∠D，
∴OB∥CD；

（2）连接AC交OB于M，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵OB∥CD，∴∠AMO=90°，
∴AM=CM，
∵OA=OC，
∴OM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{7}{2}$，
∵AB=15，
设OA=OB=r，
∴AB²-BM²=AM²=OA²-OM²，
即15²-（r-$\frac{7}{2}$）²=r²-（$\frac{7}{2}$）²，
∴r=12.5，
∴⊙O的半径是12.5．

点评 本题考查了圆周角，弧，弦的关系，三角形的中位线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．