Question

20．如图，△ABC中，AC＞AB，AE为外角∠FAC的角平分线，同时点E也在BC的垂直平分线上，若AB=AE，试判断∠ABC与∠ACB的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 过E作EM⊥BA于M，EN⊥AC于N，根据角平分线性质得出EM=EN，根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，证Rt△BME≌Rt△CNE，根据全等得出∠ABE=∠ECA，
推出A、B、C、E四点共圆，求出∠ABE=∠ACB=∠ACE，即可得出答案．

解答 ∠ABC=3∠ACB，
证明：

过E作EM⊥BA于M，EN⊥AC于N，
则∠EMB=∠ENC=90°，
∵AE平分∠MAC，
∴EM=EN，
∵E在BC的垂直平分线上，
∴BE=CE，
在Rt△BME和Rt△CNE中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{EM=EN}\end{array}\right.$
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL），
∴∠ABE=∠ECA，
∴A、B、C、E四点共圆，
∴∠ACB=∠AEB，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=∠ACB=∠ACE，
∵BE=CE，
∵∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC
=∠ACB+∠ECB
=∠ACB+∠ACB+∠ECA
=∠ACB+∠ACB+∠ACB
=3∠ACB．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．