Question

1．选用适当方法解一元二次方程
（1）（x-2）²=（2x+5）²
（2）（x²+3x）²-2（x²+3x）-8=0
（3）x²-2mx+m²-n²=0
（4）（m-1）x²+（m-2）x-1=0．

Answer 1

分析 （1）应用直接开平方法
（2）应用换元法
（3）将原方程变形：x²-2mx+m²=n²程后再用直接开平方法
（4）应用公式法

解答 （1）（x-2）²=（2x+5）²
解：两边同时开平方得：x-2=±（2x+5），即：
x-2=2x+5或x-2=-（2x+5）
解得：x₁=-7，x₂=-1
（2）（x²+3x）²-2（x²+3x）-8=0
解：令x²+3x=y，则原方程变为：y²-2y-8=0
解这个关于y一元二次方程得：y₁=4，y₂=-2
则：x²+3x=4或x²+3x=-2
解x²+3x=4得：x₁=-4，x₂=1，
解x²+3x=-2得：x₃=-2，x₄=-1
所以，原方程的解为：x₁=-4，x₂=1，x₃=-2，x₄=-1
（3）x²-2mx+m²-n²=0
解：将原方程变形：x²-2mx+m²=n²
则：（x-m）²=n²
所以：x-m=±n
故原方程的解为：x₁=m+n，x₂=m-n
（4）（m-1）x²+（m-2）x-1=0．
解：该方程为一元二次方程，故m-1≠0，
则△=（m-2）²+4（m-1）=m²
由求根公式x_1，2=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$得：x₂=$\frac{1}{m-1}$，x₃=-1
故原方程的解为：x₁=$\frac{1}{m-1}$，x₂=-1

点评 本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是能够根据方程的结构特征选择适当的解法．