Question

11．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QM⊥BD于M，连接AM，PM（如图1）．
（1）判断AM与PM的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，其它条件不变（如图2），（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出△DMQ是等腰直角三角形，再判断出△MDP≌△MQC（SAS），最后进行简单的计算即可；
（2）先判断出△DMQ是等腰直角三角形，再判断出△MDP≌△MQC（SAS），最后进行简单的计算即可．

解答 解：（1）连接CM，

∵四边形ABCD是正方形，QM⊥BD，
∴∠MDQ=45°，
∴△DMQ是等腰直角三角形．
∵DP=CQ，
在△MDP与△MQC中
$\left\{\begin{array}{l}{DM=QM}\\{∠MDP=∠MQC}\\{DP=QC}\end{array}\right.$
∴△MDP≌△MQC（SAS），
∴PM=CM，∠MPC=∠MCP．
∵BD是正方形ABCD的对称轴，
∴AM=CM，∠DAM=∠MCP，
∴∠AMP=180°-∠ADP=90°，
∴AM=PM，AM⊥PM．
（2）成立，
理由如下：
连接CM，

∵四边形ABCD是正方形，QM⊥BD，
∴∠MDQ=45°，
∴△DMQ是等腰直角三角形．
∵DP=CQ，
在△MDP与△MQC中
$\left\{\begin{array}{l}{DM=QM}\\{∠MDP=∠MQC}\\{DP=QC}\end{array}\right.$
∴△MDP≌△MQC（SAS），
∴PM=CM，∠MPC=∠MCP．
∵BD是正方形ABCD的对称轴，
∴AM=CM，∠DAM=∠MCP，
∴∠DAM=∠MPC，
∵∠PND=∠ANM
∴∠AMP=∠ADP=90°
∴AM=PM，AM⊥PM．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直的判定方法，解本题的关键是构造全等三角形．