Question

【题目】如图，⊙O的直径PD＝8，点E是⊙O上一点，点A是的中点，连接PA，过点A作直线l⊥PE，垂足为点B，PB=6，直径PD的延长线交直线l于点F．

（1）求证：直线l是⊙O的切线；

（2）求线段PA的长；

（3）求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AP=；（3）

【解析】

（1）连接OA，由等弧对等角可得∠APD＝∠APE，再由等边对等角得∠APD=∠OAP，然后推出OA∥BP进而得出OA⊥BF，即可得证；

（2）连接AD，由圆周角定理可得∠DAP=90°，然后易证△DAP∽△APB，由比例关系求出AP；

（3）利用勾股定理求出AD，可知△OAD为等边三角形，然后根据即可得出答案.

解：（1）证明：如图，连接OA．

，

∴∠APD＝∠APE，

∵OA=OP，

∴∠APD=∠OAP，

∴∠OAP＝∠APE，

∴OA∥BP，

∵PB⊥FB，

∴OA⊥BF，

∴直线l是⊙O的切线．

（2）如图，连接AD，

∵AD是⊙O的直径

∴∠DAP＝∠ABP=90°

又∵∠APD＝∠APE，

∴△DAP∽△APB，

∴AP2=PB·PD，

∴AP=．

（3）∵AD=

∴AD=OD=OA

∴△OAD是等边三角形，

∴∠AOD＝60°

∴

∴．