Question

10．小刚和小李做了一个游戏．如图，准备了一只碗，从侧面观察碗身是一条抛物线，而俯视图又是一个圆．已知碗深为5cm，碗口宽为10cm．
（1）根据图中建立的坐标系，求出抛物线的关系式．
（2）小刚向碗中加水，使它刚好漂浮两张半径为2cm的圆形薄纸片；小李向碗中加水，使它刚好漂浮一张面积为4cm的正十二边形薄纸片，那么谁加入的水更多一些？

Answer 1

分析 （1）由图中的坐标系得到A（-5，5），代入y=ax²，得到a=$\frac{1}{5}$，于是得到结论；
（2）求得小刚向碗中加水的水深为$\frac{16}{5}$cm，小李向碗中加的水深为$\frac{4}{15}$cm，于是得到结论．

解答 解：（1）由图中的坐标系得：
∵碗深为5cm，碗口宽为10cm，
∴A（-5，5），
设抛物线解析式为：y=ax²，则5=25a，
解得：a=$\frac{1}{5}$，
∴抛物线的关系式为：y=$\frac{1}{5}$x²；
（2）∵小刚向碗中加水，使它刚好漂浮两张半径为2cm的圆形薄纸片；
∴水面圆的半径的4cm，
把x=4代入y=$\frac{1}{5}$x²得y=$\frac{16}{5}$，
∴小刚向碗中加水的水深为$\frac{16}{5}$cm，
∵小李向碗中加水，使它刚好漂浮一张面积为4cm的正十二边形薄纸片，
∴设正十二边形的外接圆的半径为r，
∴12×$\frac{1}{2}$r²•sin30°=4，
∴r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴把x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入y=$\frac{1}{5}$x²得y=$\frac{4}{15}$，
∴小李向碗中加的水深为$\frac{4}{15}$cm，
∴小刚向碗中加的水深．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及相切两圆的性质等知识，正确的理解题意是解题关键．