Question

4．如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．
（1）求∠DAE的度数．
（2）你能把∠B，∠C，∠DAE之间的关系规律化吗？请证明你的结论．
①设F为AE上任意一点，当它在AE上滑动，AD变成FD（如图2）时，结论还成立吗？
②当它滑动到AE的延长线上，AD变成FD（如图3）时，结论还成立吗？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，根据三角形内角和定理得到∠BAC的度数，进而求出∠DAC的度数，在直角△ACD中根据三角形内角和定理得到∠DAC的度数，则∠DAE的度数就可以求出．
（2）如图1先由互余计算出∠BAD=90°-∠B，再根据三角形内角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C，而AE平分∠BAC，则∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，于是∠DAE=∠BAE-∠BAD=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
①如图2，结论成立．作AH⊥BC于H，由（2）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），根据平行线的性质易得∠DFE=∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
②如图3，结论成立，方法与图①一样．

解答 解：（1）在△ABC中∠BAC=180-∠B-∠C=76°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=38°，
在直角△ACD中，∠DAC=90-∠C=56°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=18°．
（2）如图1，∠B，∠C，∠DAE的关系为∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），理由如下：
∵∠BAD=90°-∠B，
∠BAC=180°-∠B-∠C，
而AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$C，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$C+∠B=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
①如图2，结论成立．作AH⊥BC于H，由（1）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE=∠HAE，
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
②如图3，结论成立．理由如下：
作AH⊥BC于H，由（1）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE=∠HAE，
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质．