Question

4．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点为E，F，G，H，已知AD∥BC，AB=CD，DO=6cm，CO=8cm，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析 首先证明AB+CD=BC+AD，再证明∠DOC=90°，理由勾股定理求出CD，即可解决问题．

解答 解：如图，

∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点为E，F，G，H，
∴AF=AG，BH=BG，CH=CE，DE=DF，
∴BH+CH+AF+DF=BG+CE+AG+DE，
即BC+AD=AB+CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠ODE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠DOC=90°，
在Rt△DOC中，CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AB=CD=10，
∴AB+CD=BC+AD=20，
∴四边形ABCD的周长为20．

点评 此题主要考查了切线长定理、平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，正确利用切线长定理得出相等的线段是解题关键，记住本题的结论：圆的外切四边形对边和相等．