Question

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，阴影部分面积S₁+S₂的大小变化情况是（　　）

• A． 一直不变
• B． 一直减小
• C． 一直增大
• D． 先减小后增大

Answer 1

分析 设AP=x，则DP=$\frac{1}{2}$x，则BE=1-x，然后再求得点C到AB的距离，从而可可得到S₁+S₂与x的函数关系，然后依据二次函数的性质求解即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2．
依据勾股定理可知：AC=$\sqrt{3}$．
设点C到AB的距离为h，则2h=1×$\sqrt{3}$，解得：h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以S₁+S₂=$\frac{1}{2}$DP•AD+$\frac{1}{2}$BE•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$（1-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
对称轴为x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＞1．
∵AB=2，PE=1，
∴0＜x＜0，
所以S₁+S₂的值一直减小．
故选：B．

点评 本题主要考查的是含30°直角三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，根据题意列出S₁+S₂与x的函数关系是解题的关键．