Question

19．如图，在△ABC内接于⊙O，AB为直径，D是$\widehat{AC}$上的点，BD交AC于点E，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点F，已知AB=5，sin∠CAB=$\frac{3}{5}$．
（1）求CF的长；
（2）若CE=$\frac{9}{4}$，求证：AD∥OC；
（3）在满足（2）的条件下，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ACB=90°，再在Rt△ACB中利用正弦定义可计算出BC=3，则利用勾股定理看到计算出AC=4，所以cos∠3=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，接着根据切线的性质得到∠ABF=90°，然后在Rt△ABF中利用余弦定理计算出AF=$\frac{25}{4}$，再利用CF=AF-AC进行计算即可；
（2）先由CE=CF=$\frac{9}{4}$，BC⊥EF可判断△BEF为等腰三角形，则∠1=∠2，再证明∠4=∠5，然后根据平行线的性质得AD∥OC；
（3）证明Rt△ADE∽Rt△ACD，然后利用相似比可计算出AD．

解答 （1）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵sin∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，AB=5，
∴BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∴cos∠3=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵BF为⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
在Rt△ABF中，∵cos∠3=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{4}{5}$，
∴AF=$\frac{5}{4}$×5=$\frac{25}{4}$，
∴CF=AF-AC=$\frac{25}{4}$-4=$\frac{9}{4}$；
（2）证明：∵CE=CF=$\frac{9}{4}$，
而BC⊥EF，
∴△BEF为等腰三角形，
∴∠1=∠2，
而∠2+∠F=90°，∠3+∠F=90°，
∴∠2=∠3，
而∠1=∠4，
∴∠3=∠4，
∵OA=OC，
∴∠3=∠5，
∴∠4=∠5，
∴AD∥OC；
（3）解：AE=AC-CE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
而∠3=∠4，
∴Rt△ADE∽Rt△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{AD}{4}$=$\frac{\frac{7}{4}}{5}$，
∴AD=$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．