Question

9．如图，在直角坐标系中，点M在第一象限内，MN⊥x轴于点N，MN=1，⊙M与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点．
（1）求⊙M的半径．
（2）在坐标轴上有一点P，过点P作垂直于坐标轴的直线l刚好和⊙M相切，请直接写出直线l的表达式．

Answer 1

分析 （1）可通过构建直角三角形来求解．连接AM，根据垂径定理我们不难得出AN=$\frac{1}{2}$AB，有了A，B的坐标，我们就知道了AB的长，也就有了AN的长．在直角三角形AMN中，知道了两条直角边AN，MN的长，就可以用勾股定理求出圆的半径了；
（2）根据题目的要求画出符合题意的图形，如图2所示，若过点P作垂直于坐标轴的直线l刚好和⊙M相切时，则求出OA，OP，OR，OK的值即可得到直线l的解析式．

解答 解：（1）连接MA，如图1
∵MN⊥AB于点N，
∴AN=BN，
∵A（2，0），B（6，0），
∴AB=4，
∴AN=2；
在Rt△AMN中，MN=1，AN=2，
∴AM=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$$\sqrt{5}$，
即⊙M的半径为$\sqrt{5}$；
（2）如图所示：设直线l和圆分别相切于点C，H，F，E点，
∵A（2，0）、B（6，0），
∴AB=4，
∴AN=2，
∴ON=4，
∵CM=$\sqrt{5}$，
∴OG=ON-OG=4-$\sqrt{5}$，OP=4+$\sqrt{5}$，
∴直线l的解析法为x=4-$\sqrt{5}$或4+$\sqrt{5}$，
∵MN=1，
∴OR=NE=$\sqrt{5}$+1，OK=NH=$\sqrt{5}$-1，
∴直线l的解析法为y=$\sqrt{5}$+1或$\sqrt{5}$-1．

点评 本题主要考查了垂径定理，坐标与图形性质以及勾股定理等知识点的应用，通过构建直角三角形来求圆的半径是解题的基本思路．