Question

6．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（与C、D不重合），DF⊥AE，垂足为G，交BC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）连接AF，若E是CD的中点，且CD=4$\sqrt{5}$，求△AFG的面积．
（3）连接BG，若E是CD的中点．且BG=4，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明AE=DF只要证明△ADE≌△DCF即可．
（2）由△ADG∽△AED得$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{DG}{DE}$，求出AG、DG即可解决问题．
（3）延长DF交AB的延长线于M，先证明△DFC≌△MFB再利用直角三角形斜边中线定理即可求出正方形边长解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=∠C=90°，
∵AE⊥DF
∴∠AGD=90°，∠AED+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠AED=∠DFC，
在△ADE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠C}\\{∠AED=∠DFC}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF，
∴AE=DF．
（2）∵DE=EC=2$\sqrt{5}$，AD=4$\sqrt{5}$，
在RT△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴AE=DF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=10，
∵∠DAG=∠DAE，∠AGD=∠ADE=90°，
∴△ADG∽△AED，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{DG}{DE}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{10}$=$\frac{AG}{4\sqrt{5}}$=$\frac{DG}{2\sqrt{5}}$，
∴AG=8，DG=4，FG=6，
∴S_△AFG=$\frac{1}{2}$×6×8=24．
（3）延长DF交AB的延长线于M，
∵△ADE≌△DCF，
∴CF=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴BF=CF，
在△BFM和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBF=∠C=90°}\\{∠BFM=∠DFC}\\{BF=FC}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△MFB，
∴DC=BM=AB，
∵∠AGM=90°，
∴AM=2BG=8，
∴AB=BM=4，
∴正方形ABCD面积=16．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第三个问题需要添加辅助线，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，属于中考常考题型．