Question

6．如图，已知二次函数y=ax²+bx+4的图象与x轴交于点B（-2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．
（1）求二次函数y=ax²+bx+4的表达式；
（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得$\frac{AM}{AB}$，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；
（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=$\frac{1}{2}$AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系．

解答 解：
（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax²+bx+4可得$\left\{\begin{array}{l}4a-2b+4=0\\ 64a+8b+4=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；
（2）设点N的坐标为（n，0）（-2＜n＜8），
则BN=n+2，CN=8-n．
∵B（-2，0），C（8，0），
∴BC=10，
在y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4中令x=0，可解得y=4，
∴点A（0，4），OA=4，
∴S_△ABN=$\frac{1}{2}$BN•OA=$\frac{1}{2}$（n+2）×4=2（n+2），
∵MN∥AC，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{NC}{BC}=\frac{8-n}{10}$，
∴$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABN}}$=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{8-n}{10}$，
∴${S_{△AMN}}=\frac{8-n}{10}{S_{△ABN}}=\frac{1}{5}（8-n）（n+2）=-\frac{1}{5}{（n-3）^2}+5$，
∵-$\frac{1}{5}$＜0，
∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；

（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，
∵MN∥AC，
∴M为AB边中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{64+16}$=4$\sqrt{5}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴OM=$\frac{1}{4}$AC．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中找到△AMN和△ABN的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出AB为OM和AC的中间“桥梁”是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．