Question

【题目】如图在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若BC＝8cm，AD＝6cm，

（1）PN＝2PQ，求矩形PQMN的周长

（2）当PN为多少时矩形PQMN的面积最大，最大值为多少？

Answer 1

【答案】（1）矩形PQMN的周长＝14.4cm；（2）当AE＝3时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是12，此时PN＝4．

【解析】

（1）由题意可得出PQ：AD=BP：AB，PN：BC=AP：AB，BC=8，AD=6，据此可得出PQ，PN的值，故可得出矩形PQMN的周长；

（2）设长方形零件PQMN的边AE=x，矩形PQMN的面积为S，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值．

（1）由题意得；PQ：AD＝BP：AB，PN：BC＝AP：AB

∴，

又∵PN＝2PQ，BC＝8cm，AD＝6cm，

∴，

∴PQ＝2.4

则PN＝4.8，

∴矩形PQMN的周长＝14.4cm；

（2）∵四边形PQMN是矩形，

∴PN∥BC，∠PQM＝90°，∠QPN＝90°，

∴△PAN∽△ABC，

∵AD是高，

∴∠ADB＝90°，

∴四边形PQDE是矩形，∠AEN＝90°，

∴，PQ＝DE，

设AE＝x，矩形PQMN的面积为S，

则，DE＝6﹣x，

∴PN＝x，PQ＝6﹣x，

∴S＝﹣x2+8x．

∴当x＝＝3时，S的最大值为12．，

∴当AE＝3时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是12，此时PN＝×3＝4．