Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若E，F，G，H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当梯形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？请说明理由．
（3）四边形EFGH可能是正方形吗？若可能，请直接写出此时梯形应满足的条件；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图，连接AC．利用三角形中位线定理推知EF∥GH且EF=GH．则根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，连接BD．利用三角形中位线定理只需推知（1）中的平行四边形的邻边相等即可；
（3）正方形是一特殊的菱形：内角是直角的菱形为正方形．所以当（2）中的菱形EFGH邻边相互垂直即可证得该菱形是正方形．

解答：（1）证明：连接AC．
∵在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC且EF=

1

2

AC．
同理，GH∥AC且GH=

1

2

AC．
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）解：当梯形是等腰梯形（或AC=BD或AB=CD）时，四边形EFGH是菱形．
理由如下：
如图，连接BD．
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD．
∴EF=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，
∴EF=EH．
∴平行四边形EFGH是菱形．  

（3）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．

点评：本题考查了中点四边形．解答该题时，注意辅助线的作法：通过作辅助线构建三角形，利用三角形中位线定理来解题．