Question

8．已知，如图，在△ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=6cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线QD从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，且QD⊥BC，与AC，BC分别交于点D，Q；当直线QD停止运动时，点P也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜3）s．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AC？
（2）设四边形APQD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形APQD}：S_△ABC=23：45？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设当ts时PQ∥AC，再用t表示出BP与BQ的长，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（2）分别过点A、P作AN⊥BC，PN⊥BC于点N、M，根据勾股定理求出AN的长，再由相似三角形的性质求出PM的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）分别用t表示出四边形APQD与三角形ABC的面积，进而可得出结论．

解答 解：（1）当ts时PQ∥AC，
∵点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线QD从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，
∴BP=t，BQ=6-t．
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{BP}{AC}$=$\frac{BC}{BQ}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{6-t}{6}$，解得t=$\frac{30}{11}$（s）．
答：当t为$\frac{30}{11}$s时，PQ∥AC；

（2）过点A、P作AN⊥BC，PN⊥BC于点N、M，
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，
∴BN=CN=3cm，
∴AN=$\sqrt{{AB}^{2}-{BN}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4cm．
∵AN⊥BC，PN⊥BC，
∴△BPM∽△BAN，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{PM}{AN}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{PM}{4}$，解得PM=$\frac{4t}{5}$，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$（6-t）•$\frac{4t}{5}$=-$\frac{2{t}^{2}}{5}$+$\frac{12}{5}$t．
∵AB=AC=5cm，
∴∠C=45°，
∴QC=DQ，
∴S_△CDQ=$\frac{1}{2}$CQ•DQ=$\frac{1}{2}$t²．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AN=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∴y=S_{四边形APQD}=S_△ABC-S_△CDQ-S_△BPQ=12-$\frac{1}{2}$t²-（-$\frac{{2t}^{2}}{5}$+$\frac{12}{5}$t）=12-$\frac{1}{10}$t²-$\frac{12}{5}$t（0＜t＜3）；

（3）存在．
∵由（2）知，S_{四边形APQD}=S_△ABC-S_△CDQ-S_△BPQ=12-$\frac{1}{2}$t²-（-$\frac{{2t}^{2}}{5}$+$\frac{12}{5}$t）=12-$\frac{1}{10}$t²-$\frac{12}{5}$t，S_△ABC=12，
∴$\frac{12-\frac{1}{10}{t}^{2}-\frac{12}{5}t}{12}$=$\frac{23}{45}$，解得t₁=-12+$\frac{4\sqrt{114}}{3}$，t₂=-12-$\frac{4\sqrt{114}}{3}$（舍去）．
答：当t=（-12+$\frac{4\sqrt{114}}{3}$）s时，S_{四边形APQD}：S_△ABC=23：45．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．