Question

如图，在Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°．若点A在反比例函数y=

1

x

（x＞0）的图象上运动，点B在反比例函数y=

k

x

（x＞O）的图象上运动，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题,探究型

分析：如图分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b），则ab=1．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出BD•OD的积，进而得出结果．

解答：解：分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b）．
∵点A在反比例函数y=

1

x

（x＞0）的图象上，
∴ab=1．
在△OAC与△BOD中，∠AOC=90°-∠BOD=∠OBD，∠OCA=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴OC：BD=AC：OD=OA：OB，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠B=30°，
∴OA：OB=1：

3

，
∴b：BD=a：OD=1：

3

，
∴BD=

3

b，OD=

3

a，
∴BD•OD=3ab=3，
又∵点B在第四象限，
∴k=-3．
故答案为：-3．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．