题目内容

已知在平面直角系xoy中，已知直线AB：y=-
3
3
x+1交x轴于点A，交y轴于点B，将直线AB绕着点A逆时针旋转60°交y轴于点C，
（1）求直线AC的解析式；
（2）经过点A，C的抛物线y=
4
3
x2+bx+c上是否存在点P，使得△PAB的面积等于△PBC的面积？若存在求出P点的坐标；
（3）在（2）的抛物线上是否存在三点D、E、F，使得△DEF≌△ABC？若存在，直接写出点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）根据直线AB与x轴、y轴的交点求得OB、OA以及∠BAO的度数，然后根据旋转的性质求得OC的值；最后由待定系数法求得直线AC的解析式；
（2）根据已知条件“△PAB的面积等于△PBC的面积”知点P是∠CBA的角平分线与抛物线的交点；
（3）由（1）推知△ABC是等边三角形，因为等边三角形是轴对称图形；然后根据全等三角形的性质知△DEF是轴对称图形，由点D、E、F在抛物线上，所以点D在该抛物线的对称轴上、点E、F关于对称轴对称；设D（x1，y1）、E（x2，y2）、F（x3，y3），根据全等三角形的对应边相等可以求得DE=AB=2，EF=BC=2，DF=AC=2据此可以求得点D、E、F的坐标．
解答：解：（1）∵直线AB：y=-
3
3
x+1交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（
3
，0），B（0，1），
∴OA=
3
，OB=1，
∴tan∠BAO=
OB
OA
=
3
3
，
∴∠BAO=30°，
∴将直线AB绕着点A逆时针旋转60°后，∠OAC=30°，
∴tan∠OAC=
OC
OA
=
3
3
，
∴OC=1，
∴C（0，-1）；
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则
0=
3
k+b
1=b
，
解得，
k=
3
3
b=-1
，
∴直线AC的解析式为：y=
3
3
x-1；

（2）由（1）知，A（
3
，0），C（0，-1），
则
0=
4
3
×(
3
)2+
3
b+c
-1=c
，
解得，
b=-
3
c=-1
，
∴该抛物线的解析式为：y=
4
3
x2-
3
x-1；
又∵△PAB的面积等于△PBC的面积，
∴点P到直线AB的距离与点P到直线BC的距离相等，即点P在∠CBA的角平分线上或在点P在∠CBA的外角角平分线上．
①当点P在∠CBA的角平分线上时，设P1（x1、y1）（x1＞0，y1＜0）；
∵直线PB的解析式为y=-
3
x+1，
∴y1=-
3
x1+1，①
又∵点P在抛物线y=
4
3
x2-
3
x-1上，
∴y1=
4
3
x12-
3
x1-1，②
由①②解得，
x1=
6
2
y1=1-
3
2
2
，
∴P（
6
2
、1-
3
2
2
）；
②当点P在∠CBA的外角角平分线上时，设P2（x2、y2）（x2＞0，y2＞0）．
∵直线PB的解析式为y=
3
3
x+1，
∴y2=
3
3
x2+1，①
又∵点P在抛物线y=
4
3
x2-
3
x-1上，
∴y2=
4
3
x22-
3
x2-1，②
由①②解得，
x2=
3
+3
2
y2=
3
+3
2
，
∴P2（
3
+3
2
、
3
+3
2
）；
综上所述，点P的坐标是（
6
2
、1-
3
2
2
）或（
3
+3
2
、
3
+3
2
）；

（3）由（1）知，A（
3
，0），B（0，1），
∴AB=BC=AC=2，
∴△ABC是正三角形，△ABC的点B、C关于对称轴x轴对称；
又∵△DEF≌△ABC，
∴△DEF的点E、F关于对称轴对称，DE=AB=2，EF=BC=2，DF=AC=2；
∴点D是抛物线y=
4
3
x2-
3
x-1的顶点，
∴xD=-
-
3
2×
4
3
=
3
3
8
，yD=
4×
4
3
×(-1)-(
3
)2
4×
4
3
=-
25
16
，则D（
3
3
8
，-
25
16
）；
∴
(xD-xE)2+(yD-yE)2
=2
yE=
4
3
xE2-
3
xE-1
，
解得，xE=
3
3
2
-1，yE=-
25
16
-
3
，则E（
3
3
2
-1，-
25
16
-
3
）；
又∵点E、F关于对称轴对称，
∴F（
3
3
2
+1，-
25
16
-
3
）．
综上所述，D（
3
3
8
，-
25
16
）、E（
3
3
2
-1，-
25
16
-
3
）、F（
3
3
2
+1，-
25
16
-
3
）．
点评：本题考查了二次函数综合题．本题涉及到的知识点有待定系数求一次函数的解析式、直线与抛物线的交点问题以及全等三角形的判定与性质．
练习册系列答案
相关题目
一个不透明的口袋中装有3个红球和一个白球，一次性摸出2个球恰好都是红球的概率是（　　）
A、
1
2
B、
1
3
C、
1
4
D、
1
5
一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀滚动去，则小球在平面镜中的像是（　　）
A、以
2
2
m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角
B、以1m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角
C、以1m/s的速度，做竖直向上运动
D、以1m/s的速度，做竖直向下运动
如图1、如图2分别为6×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1．
（1）将图1中的四边形分割成两个等腰直角三角形和一个正方形，分割后图形的顶点在小正方形的顶点上．
（2）将图2中的四边形分割成三个等腰直角三角形，分割后图形的顶点在小正方形的顶点上．
计算：
3-8
-（π-3）0+(-
1
2
)-2-（-1）2010-|-5|
如图，在Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°．若点A在反比例函数y=
1
x
（x＞0）的图象上运动，点B在反比例函数y=
k
x
（x＞O）的图象上运动，则k=
 
．
初三（一）班6个女同学的跳远成绩分别为：2.13（m），1.95（m），1.90（m），2.25（m），1.93（m），1.89（m），其中这些数据的中位数为
 
．
如果三角形内有一点到三边距离相等，且到三顶点的距离也相等，那么这个三角形的形状是（　　）
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、等边三角形
等腰三角形的周长是16，底边上的高是4cm，则这个三角形的各边长为
 
．

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