Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=BC，且CD=

1

2

AB，F是CD的中点，连AF．求证：∠BAF+2∠BAD=180°．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：先过点F作FE⊥AB，过B作BG⊥AD，连接BD，设CF=x，分别表示出CD、EF、BE、AE的长，根据勾股定理求出AF，得出sin∠BAF的值，再根据勾股定理求出BD的长，然后过点B作DM⊥AB，表示出BM、
CD的长，再根据AD=BD，得出∠DAB=∠DBA，∠BDA+∠BAD=180°，根据AD•BG=AB•DM，求出BG的长，最后根据sin∠BDA=

BG

BD

=

4

5

，得出∠BDA=∠BAF，即可证出答案．

解答：解：过点F作FE⊥AB，过B作BG⊥AD，连接BD，
设CF=x，则CD=2x，EF=4x，BE=x，
∴AE=3x，
在Rt△AEF中，AF=

AE2+AF2

=5x，
∴sin∠BAF=

EF

AF

=

4

5

，
∵CD=

1

2

AB，
∴AB=4x，
∵B=BC，
∴BC=4x，
∵∠ABC=90°，
∴∠C=90°，
在Rt△BCD中，BD=

BC2+CD2

=2

5

x，
过点B作DM⊥AB，则BM=CD=2x，
∴AM=2x，
∴AM=BM，
∴AD=BD=2

5

x，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠DAB+∠DBA=2∠BAD，
∴∠BDA+∠BAD=180°，
∵AD•BG=AB•DM，
∴2

5

x•BG=4x•4x，
∴BG=

8 5

5

x，
∴sin∠BDA=

BG

BD

=

4

5

，
∴∠BDA=∠BAF，
∴∠BAF+2∠BAD=180°．

点评：此题考查了正方形的性质，用到的知识点是勾股定理等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，矩形的性质，难度适中，解题的关键是根据题意画出辅助线．