Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②

AM

AB

=

AN

AC

；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=2AN．其中正确的是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、①②④
• D、②③④

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；
②先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；
③先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；
④当∠ABC=45°时，可得BN=CN，在Rt△ANC中，tanA=

NC

AN

，可得

NC

AN

=

3

，从而可得NC=

3

AN，即BN=

3

AN，故④错误．

解答：解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=

1

2

BC，PN=

1

2

BC，
∴PM=PN，正确；

②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴

AM

AB

=

AN

AC

，正确；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；

④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
在Rt△ANC中，
∵tanA=

NC

AN

，∠A=60°，
∴

NC

AN

=

3

，
∴NC=

3

AN，
即BN=

3

AN，故④错误．
所以正确的选项有：①②③．
故选：A．

点评：本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．