题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t=
（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为
考点：相似三角形的判定与性质
专题：动点型
分析：（1）由∠C=∠C，分两种情况讨论：①PC：BC=QC：AC，求出t=6；②PC：AC=QC：BC，求出t=
＞10，不合题意舍去；因此t=6；
（2）线段PQ的中点所经过的路程为一个三角形的中位线长．
| 90 |
| 7 |
（2）线段PQ的中点所经过的路程为一个三角形的中位线长．
解答：解：（1）分两种情况讨论：
①∵∠C=∠C，当
=
时，△QPC∽△ABC，
∵BP=2t，QC=t，
∴PC=30-2t，
∴
=
，
解得t=6；
②∵∠C=∠C，当
=
时，△PQC∽△ABC，
=
，解得t=
＞10，不合题意；
综上所述：当t=6时，点P、C、Q构成的三角形与Rt△ABC相似；
（2）线段PQ的中点所经过的路程是线段MN的长，如图所示：
当P在B处，Q在C处时，PQ的中点为BC的中点，当点Q运动10秒时，P、Q停止运动，
PQ的中点为N，P到达D，Q到达A，
过点A作AE∥MN交BC于点E，
此时CD=30-2×10=10，
∴MD=15-10=5，
∵N是AD的中点，
∴M时DE的中点，
∴EM=DM=5，MN=
AE，
∴CE=10+5+5=20，
∴AE=
=10
，
∴MN=5
；
即线段PQ的中点所经过的路程长为5
．
①∵∠C=∠C，当
| PC |
| BC |
| QC |
| AC |
∵BP=2t，QC=t，
∴PC=30-2t，
∴
| 30-2t |
| 30 |
| t |
| 10 |
解得t=6；
②∵∠C=∠C，当
| PC |
| AC |
| QC |
| BC |
| 30-2t |
| 10 |
| t |
| 30 |
| 90 |
| 7 |
综上所述：当t=6时，点P、C、Q构成的三角形与Rt△ABC相似；
（2）线段PQ的中点所经过的路程是线段MN的长，如图所示：
当P在B处，Q在C处时，PQ的中点为BC的中点，当点Q运动10秒时，P、Q停止运动，PQ的中点为N，P到达D，Q到达A，
过点A作AE∥MN交BC于点E，
此时CD=30-2×10=10，
∴MD=15-10=5，
∵N是AD的中点，
∴M时DE的中点，
∴EM=DM=5，MN=
| 1 |
| 2 |
∴CE=10+5+5=20，
∴AE=
| 202+102 |
| 5 |
∴MN=5
| 5 |
即线段PQ的中点所经过的路程长为5
| 5 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理以及三角形中位线的综合运用；要注意的是（1）中，根据P、Q的不同位置分类讨论．
练习册系列答案
相关题目
在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为0，1，2，3，4，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
-1 230 000用科学记数法表示为（ ）
| A、1.23×106 |
| B、1.23×10-6 |
| C、-1.23×106 |
| D、-0.123×107 |
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
如图，在△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于O，OE平分∠BOF，∠1=65°，求∠BOF的度数．