Question

9．在平面直角坐标系中，点A（-3，0），B（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．

（1）如图①，若点C的坐标为（2，0），试求点E的坐标；
（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜3，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分∠ADC
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当AD-CD=OC时，求∠OCB的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（2，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；
（2）先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到S_△AOE=S_△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD平分∠ADC；
（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据SAS判定△OPD≌△OCD，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°．

解答 解：（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，
∴∠AOE=∠BDE，
又∵∠AEO=∠BED，
∴∠OAE=∠OBC，
∵A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOE≌△BOC，
∴OE=OC，
又∵点C的坐标为（2，0），
∴OC=2=OE，
∴点E的坐标为（0，2）；

（2）如图②，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，
∵△AOE≌△BOC，
∴S_△AOE=S_△BOC，且AE=BC，
∵OM⊥AE，ON⊥BC，
∴OM=ON，
∴OD平分∠ADC；

（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，
∵∠PDO=∠CDO，OP=OP，
∴△OPD≌△OCD，
∴OC=OP，∠OPD=∠OCD，
∵AD-CD=OC，
∴AD-DP=OP，即AP=OP，
∴∠PAO=∠POA，
∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB，
又∵∠PAO+∠OCD=90°，
∴3∠PAO=90°，
∴∠PAO=30°，
∴∠OCB=60°．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．