Question

5．如图，抛物线y=x²与直线y=2x在第一象限内有一交点A．
（1）你能求出点A的坐标吗？
（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=2x}\end{array}\right.$可得到A点坐标；
（2）需要分类讨论：AP=AO、OA=OP、AP=OP，根据等腰三角形的性质来求点P的坐标．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
所以A点坐标为（2，4）；

（2）①当AP=AO时，作AB⊥x轴于B点，如图1，
当PB=OB时，△AOP是以OP为底的等腰三角形，
而A（2，4），
所以P点坐标为（4，0）．
②当OA=OP时，∵A（2，4），
∴OA=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
则P（±2$\sqrt{5}$，0）；
③当AP=OP时，如图2，过点P作PQ⊥AO于点Q．
设P（t，0）．
则Q（1，2）．
故$\frac{1}{2}$OA•PQ=$\frac{1}{2}$OP×4，即$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$\sqrt{（1-t）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{1}{2}$t×4，
解得t=5，
即（5，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（4，0）或（2$\sqrt{5}$，0）或（-2$\sqrt{5}$，0）或（5，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时，应有规律的去找不同的解是解题关键．