Question

10．在△ABC中，AC=BC，D是边AB上一点，E是线段CD上一点，且∠AED=∠ACB=2∠BED．
（1）如图1，若∠BED=45°，AD=2，求线段BD的长度；
（2）如图1，若∠ACB=90°，求证：AE=$\sqrt{2}$BE；
（3）如图2，若∠ACB=60°，猜想AE与BE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）作BM⊥CD于M，证得△ACE≌△CBM，得出CE=BM，AE=CM，进一步证得△BME是等腰直角三角形，进而得到BM=$\frac{1}{2}$AE，根据△ADE∽△BDM，即可得到BD=$\frac{1}{2}$AD=1；
（2）作BM⊥CD于M，证得△ACE≌△CBM，得出CE=BM，AE=CM，进一步证得△BME是等腰直角三角形，解直角三角形得出BM=EM，BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，CE=EM，进一步证得AE=2BM=$\sqrt{2}$BE；
（3）在CD上截取CF=AE，证得△ACE≌△CBF，得出CE=BF，AE=CM，进一步证得△BFE是等腰三角形，解直角三角形得出$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF，进一步证得BE=$\sqrt{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE．

解答 解：（1）作BM⊥CD，交CD的延长线于M，如图①，
由∠BED=45°，可得∠AED=∠ACB=2∠BED=90°，
∴∠CAE=∠BCM，∠AEC=∠CMB=90°，
在△ACE和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CMB}\\{∠CAF=∠BCM}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBM（AAS），
∴CE=BM，AE=CM，
又∵∠BED=45°，∠BME=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴ME=BM=CE=$\frac{1}{2}$CM，
∴BM=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$AE，
由∠AED=∠BMD=90°，∠ADE=∠BDM，可得△ADE∽△BDM，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BM}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
即BD=$\frac{1}{2}$AD=1；

（2）作BM⊥CD于M，如图①，
∴∠BCM+∠MBC=90°，
∵∠ACB=90°，∠AED=∠ACB，
∴∠ACE+∠BCM=90°，∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠MBC，
在△ACE和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠MBC}\\{∠AEC=∠CMB=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBM（AAS），
∴CE=BM，AE=CM，
∵∠AED=∠ACB=2∠BED=90°，
∴∠DEB=45°，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BM=EM，BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，
∴CE=BM=EM，
∴CM=2BM，
∴AE=2BM，
∴AE=$\sqrt{2}$BE；

（3）BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE．
证明：在CD上截取CF=AE，如图②，
∵∠AED=∠ACB=2∠BED，∠ACB=60°，
∴∠AED=60°，∠BED=30°，
∴∠EAC+∠ACD=60°，∠ACD+∠BCF=60°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△ACE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠EAC=∠FCB}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴CE=BF，AE=CF，∠AEC=∠CFB，
∴∠BFD=∠AED=60°，
∴∠EBF=30°，
∴EF=BF，
∴CF=2BF，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE，
∵$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF，
∴BE=$\sqrt{3}$BF，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一等．