Question

已知：二次函数y=x²+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，-）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．
注：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系数法将直线x=1，且经过点（2，-）代入二次函数解析式，求二次函数解析式即可；
（2）利用二次函数与x轴相交即y=0，求出即可，再利用E点在x轴下方，且E为顶点坐标时△EBC面积最大，求出即可．
解答：解：（1）由已知条件得，（2分）
解得b=-，c=-，
∴此二次函数的解析式为y=x²-x-；（1分）

（2）令x²-x-=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴B（-1，0），C（3，0），
∴BC=4，（1分）
∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，
∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，-3），（1分）
∴△EBC的面积=×4×3=6．（1分）
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及求二次函数顶点坐标进而得出三角形面积等知识，根据题意得出E为顶点坐标时△EBC面积最大是解决问题的关键．