题目内容
17．
如图，在△ABC中，DE∥AB，$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，AB=3，S△ABC=6，则下面五个结论：①DE=$\frac{3}{2}$；②△CDE∽△CAB；③DE与AB之间的距离为$\frac{8}{3}$；④△CDE的面积与四边形ABED的面积之比为1：9；⑤若△ABC的周长为10，则四边形ABED的周长为$\frac{26}{3}$．
其中正确的有②③⑤（直接填序号）．
分析 由已知条件得到$\frac{CD}{CA}=\frac{1}{3}$，根据DE∥AB，于是得到△CDE∽△ABC，故②正确；根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{3}$，求得DE=1，故①错误；过C作CM⊥AB于M，交DE于N，则CN⊥DE，由于△CDE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{CN}{CM}=\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{S}_{△CDE}}{{{S}_{△}}_{CAB}}$=（$\frac{CD}{CA}$）2=$\frac{1}{9}$，于是得到△CDE的面积与四边形ABED的面积之比为1：8，故④错误；根据三角形的面积公式得到CM=4，CN=$\frac{4}{3}$，求得MN=CM-CN=$\frac{8}{3}$，于是得到DE与AB之间的距离为$\frac{8}{3}$，故③正确；根据相似三角形的性质得到△CDE的周长为$\frac{10}{3}$，求得CD+CE=$\frac{10}{3}$-1=$\frac{7}{3}$，于是得到四边形ABED的周长=△ABC的周长-（CD+CE）+DE=$\frac{26}{3}$，故⑤正确．
解答 解：∵$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{1}{3}$，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△ABC，故②正确；
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{3}$，∵AB=3，
∴DE=1，故①错误；
过C作CM⊥AB于M，交DE于N，则CN⊥DE，
∵△CDE∽△ABC，
∴$\frac{CN}{CM}=\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{S}_{△CDE}}{{{S}_{△}}_{CAB}}$=（$\frac{CD}{CA}$）2=$\frac{1}{9}$，
∴△CDE的面积与四边形ABED的面积之比为1：8，故④错误；
∵AB=3，S△ABC=6，
∴CM=4，CN=$\frac{4}{3}$，
∴MN=CM-CN=$\frac{8}{3}$，
∴DE与AB之间的距离为$\frac{8}{3}$，故③正确；
∵△ABC的周长为10，
∴△CDE的周长为$\frac{10}{3}$，
∴CD+CE=$\frac{10}{3}$-1=$\frac{7}{3}$，
∴四边形ABED的周长=△ABC的周长-（CD+CE）+DE=$\frac{26}{3}$，故⑤正确，
故答案为：②③⑤，
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
阅读快车系列答案
| A． | 相交 | B． | 相切 | C． | 相离 | D． | 无法确定 |
