Question

9．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′=Rt∠，CD、C′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且CD=C′D′，CE、C′E′分别是△ABC和△A′B′C′的高线，且CE=C′E′，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．

Answer 1

分析 证明△CED与△C'E'D'全等，得出∠B=∠B'，∠CDB=∠C'D'B'，再证明△CDB与△C'D'B'全等，得出BC=B'C'，进而证明即可．

解答 证明：在Rt△CED与Rt△C'E'D'中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=C'E'}\\{CD=C'D'}\end{array}\right.$，
∴Rt△CED≌Rt△C'E'D'（HL），
∴∠CDE=∠C'D'E''，
∵CD=DB，C'D'=D'B'，
∴∠B=∠B'，∠CDB=∠C'D'B'，
在△CDB与△C'D'B'中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠B'}\\{∠CDB=∠C'D'B'}\\{CD=C'D'}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△C'D'B'（AAS），
∴BC=B'C'，∠B=∠B'，
在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠A'C'B'}\\{BC=B'C'}\\{∠B=∠B'}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（ASA）．

点评 此题考查全等三角形的判定，关键是证明△CED与△C'E'D'全等，得出∠B=∠B'，∠CDB=∠C'D'B'．