Question

4．已知反比例函数y=$\frac{2k}{x}$，当x＜0时，y随x增大而减小，与直线y=-x+$\sqrt{3}k$都过点P，且OP=$\sqrt{7}$，则k的值为$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 设出P的坐标为（a，b），由P为两函数的交点，将P坐标代入反比例与直线解析式中，得到ab与a+b，再利用勾股定理表示出|OP|，代入OP=$\sqrt{7}$中，利用完全平方公式变形，把表示出的ab与a+b代入，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答 解：设P坐标为（a，b），代入反比例解析式得：ab=2k；代入直线解析式得：a+b=$\sqrt{3}$k，
∵OP=$\sqrt{7}$，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（$\sqrt{3}$k）²-2×2k=（$\sqrt{7}$）²，
整理得：3k²-4k-7=0
解得：k₁=-1，k₂=$\frac{7}{3}$，
∵反比例函数y=$\frac{2k}{x}$，当x＜0时，y随x增大而减小，
∴k＞0，
∴k=-1（不合题意，舍去），
∴k=$\frac{7}{3}$．
故答案为：$\frac{7}{3}$．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：勾股定理，完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．