Question

．如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．

Answer 1

【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．

【专题】证明题．

【分析】（1）连结OC，根据垂径定理由AC⊥OB得AM=CM，于是可判断OB为线段AC的垂直平分线，所以BA=BC，然后利用“SSS”证明△OAB≌△OCB，得到∠OAB=∠OCB，由于∠OAB=90°，则∠OCB=90°，于是可根据切线的判定定理得BC是⊙O的切线；

（2）在Rt△OAB中，根据勾股定理计算出OB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=OB=2；在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=1，根据勾股定理计算出PD=，然后利用正弦的定义求sin∠BPD的值．

【解答】（1）证明：连结OC，如图，

∵AC⊥OB，

∴AM=CM，

∴OB为线段AC的垂直平分线，

∴BA=BC，

在△OAB和△OCB中

，

∴△OAB≌△OCB（SSS），

∴∠OAB=∠OCB，

∵OA⊥AB，

∴∠OAB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴OC⊥BC，

故BC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=，

∴OB==2，

∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，

∵PB⊥OB，

∴∠PBO=90°，∠BPO=30°，

在Rt△PBO中，OB=2，

∴PB=OB=2，

在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=2﹣1=1，PB=2，

∴PD==，

∴sin∠BPD===．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、勾股定理和全等三角形的判定与性质．