Question

3．如图，AD为锐角△ABC的高线（AC＞AB），H为线段AD上一点，连结BH，CH并延长分别交三角形的边于点E，F，且∠ABE=∠ACF，求证：H为△ABC的垂心．

Answer 1

分析 分两种情况讨论，第一种情况用反证法得出AB=AC和已知条件矛盾，第二种情况直接用相似得出结论了．

解答 解：如图，

在AD或其延长线上取一点G，使AH•AG=AF•AB=AE•AC，连接BG，CG；
（1）如果G，D不重合，
∴△AHF∽△ABG，△AHE∽△ACG，
∵∠AFH=∠AGB，∠AEH=∠AGC，
又∵B，C，E，F四点共圆，
∴∠BFC=∠CEB，
∴∠AFH=∠AEH，∠AGB=∠AGC，
∵DG=DG
∴Rt△BDG≌Rt△CDG，
∴BD=DC这与AB≠AC矛盾．
（2）如果G，D重合，
∴△AHF∽△ABD，
∴∠AFH=∠ADB=90°，
∴CF⊥AB，
即：H为△ABC的垂心．
因此，H必为△ABC的垂心．

点评 此题是三角形的五心，主要考查了反证法和分类讨论的思想，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，是一道难度比较大的竞赛题．