Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD，垂足为点E，连结AE，∠AEB=∠C，且cos∠C=

2

5

，若AD=1，则AE的长是

 

．

Answer 1

考点：梯形,相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：作AF∥DC，交BE于G，BC于F，作FH∥BE，交DC于H，先求得四边形ABCD是平行四边形，四边形EGFH是矩形，从而求得FC=AD=1，GE=FH，由cos∠C=

2

5

求得CH，然后根据勾股定理求得FH，最后根据cos∠AEB=

2

5

即可求得AE的长．

解答：解：作AF∥DC，交BE于G，BC于F，作FH∥BE，交DC于H，
∵AD∥BC，BE⊥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，FH⊥DC，AF⊥BE，
∴FC=AD=1，∠FHC=90°，∠AG，E=90°，
∵cos∠C=

HC

FC

=

2

5

，
∴HC=

2

5

，
∴FH=

FC2-HC2

=

21

5

，
∵FH⊥DC，AF⊥BE，BE⊥CD，
∴四边形EGFH是矩形，
∴GE=FH=

21

5

，
∴cos∠AEB=

GE

AE

，
∵∠AEB=∠C，且cos∠C=

2

5

，
∴cos∠AEB=

GE

AE

=

2

5

，
∴AE=

5GE

2

=

5× 21 5

2

=

21

2

．
故答案为

21

2

．

点评：本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形等，作出辅助线关键直角三角形、平行四边形、矩形是本题的关键．