题目内容
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠ABC=2∠C，E与F分别为边AD与DC上的两点，且有∠EBF=∠C．（1）求证：BE：BF=BD：BC；
（2）当F为DC中点时，求AE：ED的比值．
考点：相似三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）如图，证明∠EBD=∠FBC，此为解决问题的关键性结论；证明△EBD∽△FBC，即可解决问题．
（2）如图，证明
=
=
；证明△ABE∽△DBF，得到
=
，
=
，根据DF=CF，即可解决问题．
（2）如图，证明
| BE |
| BF |
| BD |
| BC |
| DE |
| CF |
| BE |
| BF |
| AE |
| DF |
| DE |
| CF |
| AE |
| DF |
解答：解：（1）如图，∵AD∥BC，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB；∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=2∠DBC，而∠ABC=2∠C，
∴∠DBC=∠C，而∠EBF=∠C，
∴∠EBF=∠DBC，
∴∠EBD=∠FBC，而∠EDB=∠C，
∴△EBD∽△FBC，
∴BE：BF=BD：BC．
（2）如图，∵△EBD∽△FBC，
∴
=
=
；
∵∠AEB=∠ADB+∠DBE，∠DFB=∠C+∠FBC，
∴∠AEB=∠DFB，且∠ABE=∠DBF，
∴△ABE∽△DBF，
∴
=
，
=
，
∵DF=CF，
∴AE=DE，
∴AE：DE=1．
解：（1）如图，∵AD∥BC，AD=AB，∴∠ABD=∠ADB；∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=2∠DBC，而∠ABC=2∠C，
∴∠DBC=∠C，而∠EBF=∠C，
∴∠EBF=∠DBC，
∴∠EBD=∠FBC，而∠EDB=∠C，
∴△EBD∽△FBC，
∴BE：BF=BD：BC．
（2）如图，∵△EBD∽△FBC，
∴
| BE |
| BF |
| BD |
| BC |
| DE |
| CF |
∵∠AEB=∠ADB+∠DBE，∠DFB=∠C+∠FBC，
∴∠AEB=∠DFB，且∠ABE=∠DBF，
∴△ABE∽△DBF，
∴
| BE |
| BF |
| AE |
| DF |
| DE |
| CF |
| AE |
| DF |
∵DF=CF，
∴AE=DE，
∴AE：DE=1．
点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、平行线的性质、三角形外角的性质等几何知识点的应用问题；
对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
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