Question

8．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：
（1）定义一种能够被3整除的三位数$\overline{abc}$的“F”运算：把$\overline{abc}$的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如$\overline{abc}$=213时，则：213$\stackrel{F}{→}$36（2³+1³+3³=36）$\stackrel{F}{→}$243（3³+6³=243）．数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得153，经过2016次“F”运算得153．
（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．

Answer 1

分析 （1）根据“F运算”的定义得到111经过三次“F运算”的结果，经过四次“F运算”的结果，经过五次“F运算”的结果，经过2016次“F运算”的结果即可；
（2）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除．

解答 （1）解：111$\stackrel{F}{→}$3（1³+1³+1³=3）$\stackrel{F}{→}$27（3³=27）$\stackrel{F}{→}$351（2³+7³=351）$\stackrel{F}{→}$153（3³+5³+1³=153）$\stackrel{F}{→}$153（1³+5³+3³=153）$\stackrel{F}{→}$153（3³+5³+1³=153）．
故数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得 153，经过2016次“F”运算得 153．
（2）证明：设a+b+c+d=3e（e为整数），
这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，
∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，
∴$\frac{1000a+100b+10c+d}{3}$=333a+33b+3c+e，
∵333a+33b+3c+e是整数，
∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．
故答案为：351，153，153，153．

点评 本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．