题目内容

先观察下列等式，再回答问题．
①
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
2
=1+
1
1×2
=1
1
2

②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
3
=1+
1
2×3
=1
1
6

③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
4
=1+
1
3×4
=1
1
12

④
1+
1
42
+
1
52
=1+
1
4
-
1
5
=1+
1
4×5
=1
1
20

（1）根据上面提供的信息，猜想
1+
1
52
+
1
62
=
 
．
（2）你能根据各等式反映的观律，写出用n（n为正整数）表示上述规律的等式吗？
分析：分析题干得出变换规律．根式下的数都为1加上n2的倒数在加上（n+1）2的倒数．然后等于1加上n的倒数再减去（n+1）的倒数，然后等于1加上n（n+1）的倒数，应注意两数都是相差1．
解答：解：（1）原式=1+
1
5
-
1
6
=1
1
30
；

（2）由分析得：题干中的规律可言表示为：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=1+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n(n+1)
．
点评：解本题关键是根据题干的例子得出变换规律，然后根据规律进行求解．
练习册系列答案
相关题目
先观察下列等式，再回答下列问题：
①
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12
．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想
1+
1
42
+
1
52
的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
先观察下列等式，再回答下列问题①
1 +
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
2
=1
1
2
；②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
3
=1
1
6
；③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
4
=1
1
12
，请你根据上面三个等式提供的信息，猜想
1 +
1
92
+
1
102
的结果为
 
．
先观察下列等式，再完成题后问题：
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5

（1）请你猜想：
1
2010×2011
=
 
．
（2）若a、b为有理数，且|a-1|+（ab-2）2=0，求：
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+2009)(b+2009)
的值．
先观察下列等式，再回答问题
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2
；
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6
；
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12
．
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想
1+
1
92
+
1
102
=
1
1
90
1
1
90
．
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．
先观察下列等式，再回答问题：
①
1+
1
12
+
1
22
=1+
1
1
-
1
1+1
=1
1
2

②
1+
1
22
+
1
32
=1+
1
2
-
1
2+1
=1
1
6

③
1+
1
32
+
1
42
=1+
1
3
-
1
3+1
=1
1
12

根据上面三个等式提供的信息，请猜想
1+
1
42
+
1
52
的结果．

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