Question

先观察下列等式，再完成题后问题：

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

（1）请你猜想：

1

2010×2011

=

 

．
（2）若a、b为有理数，且|a-1|+（ab-2）²=0，求：

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2009)(b+2009)

的值．

Answer 1

分析：（1）根据 

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…则

1

2010×2011

=

1

2010

-

1

2011

；
（2）先根据非负数的性质得出a、b的值，代入原式变形为 1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

2010

-

1

2011

是解题的关键．

解答：解：（1）

1

2010×2011

=

1

2010

-

1

2011

（2分）

（2）∵|a-1|+（ab-2）²=0，
∴a-1=0，ab-2=0，
∴a=1，b=2（2分）
原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

（2分）
=

2010

2011

．（1分）

点评：考查了有理数的混合运算，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．