Question

18．如图，在Rt△ABC中，BC=5cm，AC=12cm，以AB长为直径作圆⊙O，作弦CD=AC，CE⊥DB的延长线于点E．
（1）求证：∠ABC=∠CAD；
（2）求证：CE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）利用CA=CD得到∠CDA=∠CAD，再根据圆周角定理得到∠CDA=∠ABC，所以∠ABC=∠CAD；
（2）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠EBC=∠ABC，再证明∠EBC=∠OCB，则可判定OC∥DE，然后利用CE⊥BC得到CE⊥OC，则可根据切线的判定可得到CE是⊙O的切线．

解答 证明：（1）∵CA=CD，
∴∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=∠ABC，
∴∠ABC=∠CAD；

（2）连接OC，如图，
∵∠EBC=∠CAD，∠ABC=∠CAD，
∴∠EBC=∠ABC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBC=∠OCB，
∴OC∥DE，
∵CE⊥BC，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理．