Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE：ED=1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为9．

Answer 1

分析 过点M作GH⊥AD，证明△EGM≌△FHM，得到MG=MH，从而可知：点M的轨迹是一条平行于BC的线段，然后证明△EF₁B∽△∠EF₁F₂，求得F₁F₂=18，最后根据三角形中位线定理可求得答案．

解答 解：如图所示：过点M作GH⊥AD．

∵AD∥CB，GH⊥AD，
∴GH⊥BC．
在△EGM和△FHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MGE=∠MHF=90°}\\{∠GME=∠FMH}\\{EM=MF}\end{array}\right.$
∴△EGM≌△FHM．
∴MG=MH．
∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段．
当点P与A重合时，BF₁=AE=2，
当点P与点B重合时，∠F₂+∠EBF₁=90°，∠BEF₁+∠EBF₁=90°，
∴∠F₂=∠EBF₁．
∵∠EF₁B=∠EF₁F₂，
∴△EF₁B∽△∠EF₁F₂．
∴$\frac{B{F}_{1}}{E{F}_{1}}=\frac{E{F}_{1}}{{F}_{1}{F}_{2}}$，即：$\frac{2}{6}=\frac{6}{{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴F₁F₂=18，
∵M₁M₂是△EF₁F₂的中位线，
∴M₁M₂=$\frac{1}{2}$F₁F₂=9．
故答案为：9．

点评 本题主要考查的是点的轨迹问题，题目涉及了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，探究出动点经过的路径是解题的关键．