Question

16．如图，已知，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．求证：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）△ABC∽△AED．

Answer 1

分析 （1）先利用垂直的定义得到∠ADC=∠AEB=90°，再加上公共角即可判断△ABE∽△ACD；
（2）利用△ABE∽△ACD得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，则利用比例性质得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，加上公共角，于是可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到结论．

解答 证明：（1）∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD；
（2）∵△ABE∽△ACD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ABC∽△AED．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．