Question

【题目】如图，双曲线y＝（x＞0）的图象经过点A（，4），直线y＝x与双曲线交于B点，过A，B分别作y轴、x轴的垂线，两线交于P点，垂足分别为C，D．

（1）求双曲线的解析式；

（2）求证：△ABP∽△BOD．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；

【解析】

（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中，即可得出结论；

（2）先求出点B坐标，进而求出OD，BD，进而判断出，即可得出结论．

（1）∵点A（，4）在双曲线y＝上，

∴k＝×4＝2，

∴双曲线的解析式为y=；

（2）如图，

由（1）知，双曲线的解析式为y＝①，

直线OB的解析式为y＝x②，

连接①②解得，或（舍去），

∴B（2，1），

∴BD＝1，OD＝2，

∵CP⊥y轴，PD⊥x轴，

∴∠OCP＝∠ODP＝90°＝∠COD，

∴四边形OCPD是矩形，

∴∠ODB＝∠P＝90°，

CP＝OD＝2，PD＝OC，

∵A（，4），

∴OC＝4，CA＝，

∴AP＝CP﹣AC＝，BP＝PD﹣1＝3，

∴，

∴，

∵∠P＝∠ODB＝90°，

∴△ABP∽△BOD．