Question

4．如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示，已知展开图中每个正方形的边长为1，
（1）求线段A′C′的长度；
（2）试比较立体图中∠BAC与展开图中∠B′A′C′的大小关系？并写出过程．

Answer 1

分析 （1）由长方形中最长的线段为对角线，从而可根据已知运用勾股定理求得最长线段的长；
（2）要确定角的大小关系，一般把两个角分别放在两个三角形中，然后根据三角形的特点或者全等或者相似形来解．

解答 解：（1）如图（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得，
∴$A'C'=\sqrt{C'D{'}^{2}+A'D{'}^{2}}=\sqrt{10}$
（2）∵立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，
∴∠BAC=45°．
在平面展开图中，连接线段B′C′，由勾股定理可得：A'B'=$\sqrt{5}$，B'C'=$\sqrt{5}$．
又∵A′B′²+B′C′²=A′C′²，
由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形．
又∵A′B′=B′C′，
∴△A′B′C′为等腰直角三角形．
∴∠B′A′C′=45°．
∴∠BAC与∠B′A′C′相等．

点评 本题综合考查了展开与折叠，等腰直角三角形，勾股定理的知识，是一道综合性比较强的题，难度中等．